Geometría Analítica: Sistema de Coordenadas

      Un sistema de coordenadas, es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo  ó más generalmente variedad diferenciable.  

    En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia u origen y una base vectorial ortonormal, quedando así definidos los ejes coordenados.

    Ejemplo de sistemas de coordenadas

    Un sistema de coordenadas permite "etiquetar" los puntos de una variedad defendible mediante un conjunto de n tuplas. Los casos más sencillos de sistemas de coordenadas se definen sobre el espacio euclídeo o "espacio plano", aunque también es posible construirlos sobre variedades con curvatura. Un sistema de coordenadas sobre una variedad.

    Mn - dimensional se representa como un par ordenado (u,e) formado por un dominio U y una aplicación diferenciable E a un conjunto abierto de R, este último conjunto contiene los posibles valores de las coordenadas, que obviamente serán números reales.

El sistema de coordenadas cartesianas espaciales.

    En un espacio euclídea, un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en R) se puede definir sistemas n- dimensionales. El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto (ra = 0a) sobre un eje determinado:

ra = 0a = (xa, ya, za)

    Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo el eje X está definido por el origen de coordenadas (0) y un vector (i) tal que:

Cuyo módulo es:

Sistema de Coordenadas Polares

    El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

Simétrica de un punto respecto de una recta

    Para calcular el simétrico P' de un punto P(px, yp) respecto de una recta L=Ax+By+C=0, basta con tener en cuenta que el punto Q proyección de P sobre L, es el punto medio del segmento PP'. Según esto, lo primero que tendríamos que hacer es calcular el punto Q como la proyección de P' utilizando la siguiente expresión:  

Luego:

Sistema de coordenadas polares

Ejemplo:

 Polo ------->

       Par principal: Es aquel que cumple con las siguientes condiciones.

1. Que p = +   p > 0

2. Que el ángulo sea desde 0º hasta 360º 

    Cuando un par no es principal se le llama par secundario.

Sumando o restando 180º

De radiales a grados

De grados a radiales

Pitágoras:

Tangente: 

Sistema de Coordenadas en el Espacio (x, y, z)