Dado el circuito:
a) Si conecta el interruptor S, en la posición 1; establezca la ecuación de corrientes de Kirchhoff
![C= 5 \eta F ; L = 0.05 m H : I\circ = 12 mA ; \ T=6\mu S](https://latex.codecogs.com/gif.latex?C=&space;5&space;\eta&space;F&space;;&space;L&space;=&space;0.05&space;m&space;H&space;:&space;I\circ&space;=&space;12&space;mA&space;;&space;\&space;T=6\mu&space;S)
Resolución:
a) Si conecta el interruptor S, en la posición 1; establezca la ecuación de corrientes de Kirchhoff
Las corrientes que entran son igual a las corrientes que salen:
![i\left ( t \right )= iR+ iC + iL](https://latex.codecogs.com/gif.latex?i\left&space;(&space;t&space;\right&space;)=&space;iR+&space;iC&space;+&space;iL)
Sustituyendo sus expresiones:
![i\left ( t \right ) = \frac{V}{R} + C\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{d} t} + \frac{1}{L}\int V\left ( t \right )dt](https://latex.codecogs.com/gif.latex?i\left&space;(&space;t&space;\right&space;)&space;=&space;\frac{V}{R}&space;+&space;C\frac{\mathrm{dV}&space;}{\mathrm{d}&space;t}&space;+&space;\frac{1}{L}\int&space;V\left&space;(&space;t&space;\right&space;)dt)
b) Si la fuente esta desconectada ---- un corto tiempo
Derivamos la EDO y colocamos a i(t)=0
![0= \frac{1}{R}\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{dt} } + C \frac{\mathrm{dV^{2}} }{\mathrm{dt^{2}} }+ \frac{1}{L}V\left ( t \right )](https://latex.codecogs.com/gif.latex?0=&space;\frac{1}{R}\frac{\mathrm{dV}&space;}{\mathrm{dt}&space;}&space;+&space;C&space;\frac{\mathrm{dV^{2}}&space;}{\mathrm{dt^{2}}&space;}+&space;\frac{1}{L}V\left&space;(&space;t&space;\right&space;))
Ordenando y dividiendo entre C
![0= \frac{\mathrm{d^{2}} V}{\mathrm{dt^{2}} }+\frac{1}{RC}\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{dt} }+ \frac{V\left ( t \right )}{LC}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?0=&space;\frac{\mathrm{d^{2}}&space;V}{\mathrm{dt^{2}}&space;}+\frac{1}{RC}\frac{\mathrm{dV}&space;}{\mathrm{dt}&space;}+&space;\frac{V\left&space;(&space;t&space;\right&space;)}{LC})
Ahora podemos aplicar LAPLACE o resolver la EDO
por La transformada de LAPLACE nos queda:
![S\left ( 12 \right )= S^{2}+\frac{1}{RC}S + \frac{V}{LC}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?S\left&space;(&space;12&space;\right&space;)=&space;S^{2}+\frac{1}{RC}S&space;+&space;\frac{V}{LC})
![S\left ( 12 \right )= \frac{\frac{-1}{RC}\pm \sqrt{\left ( \frac{1}{RC} \right )^{2}-4\left ( \frac{V}{LC} \right )}}{2}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?S\left&space;(&space;12&space;\right&space;)=&space;\frac{\frac{-1}{RC}\pm&space;\sqrt{\left&space;(&space;\frac{1}{RC}&space;\right&space;)^{2}-4\left&space;(&space;\frac{V}{LC}&space;\right&space;)}}{2})
donde:
Si
Como no es muy intuitivo para algunos lectores mejor aplicaremos la otra opción
![0= \frac{\mathrm{d^{2}} V}{\mathrm{dt^{2}} }+\frac{1}{RC}\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{dt} }+ \frac{V\left ( t \right )}{LC}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?0=&space;\frac{\mathrm{d^{2}}&space;V}{\mathrm{dt^{2}}&space;}+\frac{1}{RC}\frac{\mathrm{dV}&space;}{\mathrm{dt}&space;}+&space;\frac{V\left&space;(&space;t&space;\right&space;)}{LC})
Podemos decir:
![0=\frac{\mathrm{d^{2}V} }{\mathrm{d^{2}}t }+ \frac{2}{2RC}\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{dt} } + \frac{V\left ( t \right )}{LC}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?0=\frac{\mathrm{d^{2}V}&space;}{\mathrm{d^{2}}t&space;}+&space;\frac{2}{2RC}\frac{\mathrm{dV}&space;}{\mathrm{dt}&space;}&space;+&space;\frac{V\left&space;(&space;t&space;\right&space;)}{LC})
tenemos que:
Se espera que la solución homogénea es de la forma:
![V\left ( t \right )= Ae^{pt}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?V\left&space;(&space;t&space;\right&space;)=&space;Ae^{pt})
Entonces nos queda:
![Ae^{pt}\left ( p^{2} + 2\beta p+ \omega\circ ^{2}\right )=0](https://latex.codecogs.com/gif.latex?Ae^{pt}\left&space;(&space;p^{2}&space;+&space;2\beta&space;p+&space;\omega\circ&space;^{2}\right&space;)=0)
aplicando la ecuación característica de la ecuación diferencia asociada, se tiene como raíces:
![p=-\beta \pm \sqrt{\beta ^{2}-\omega \circ ^{2}}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?p=-\beta&space;\pm&space;\sqrt{\beta&space;^{2}-\omega&space;\circ&space;^{2}})
Ahora si queremos un amortiguamiento critico:
![\beta =\omega \circ ^{2}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\beta&space;=\omega&space;\circ&space;^{2})
sobre-amortiguado:
![\beta > \omega \circ ^{2}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\beta&space;>&space;\omega&space;\circ&space;^{2})
sub-amortiguado:
![\beta < \omega \circ ^{2}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\beta&space;<&space;\omega&space;\circ&space;^{2})
![]() |
Circuito RCL en paralelo |
b)Al colocar el interruptor S en la posición 1 --- en un tiempo muy largo --- el condensador C se carga a un valor Q(infinito). Si luego cambiamos al interruptor S en la posición 2, --- desconectamos la fuente ---: encuentre :
1) El valor de Rc para que el amortiguamiento sea critico. 2) Si Rc disminuye en 10% el valor anterior, Que tipo de amortiguamiento se tiene? 3) Cuanto vale la perdida de energía por ciclo? 4) Con los valores, Q(0)=0 y Q`(0)= I(0)= 1 mA, encuentre la solución homogénea, de la ecuación obtenida en 1a.
2) Si ahora se conecta el generador con una fuente sinusoidal de valor I(t) = Io. Sen(w`t ) encuentre:
a) Frecuencia de resonancia
b) La amplitud del voltaje y la fase en función de la frecuencia
c) Energía almacenada por la inductancia y el condensador
d) La perdida de energía disipada
Aplicación numérica
Resolución:
a) Si conecta el interruptor S, en la posición 1; establezca la ecuación de corrientes de Kirchhoff
Las corrientes que entran son igual a las corrientes que salen:
Sustituyendo sus expresiones:
b) Si la fuente esta desconectada ---- un corto tiempo
Derivamos la EDO y colocamos a i(t)=0
Ordenando y dividiendo entre C
Ahora podemos aplicar LAPLACE o resolver la EDO
por La transformada de LAPLACE nos queda:
donde:
pulsación propia |
decremento logarítmico |
Si
Amortiguamiento critico |
Sobre amortiguado |
Sub- Amortiguado |
Como no es muy intuitivo para algunos lectores mejor aplicaremos la otra opción
Podemos decir:
tenemos que:
pulsación propia |
decremento logarítmico |
Entonces nos queda:
aplicando la ecuación característica de la ecuación diferencia asociada, se tiene como raíces:
Ahora si queremos un amortiguamiento critico:
sobre-amortiguado:
sub-amortiguado:
Publicado por:
![]() |
🎓בן האלוהים |
Comentarios
Publicar un comentario