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| Integración por partes |
Esta técnica de integración es muy útil para integrando que contengan un producto de funciones algebraicas o funciones transcendentes, o combinaciones de ellas.
Teorema: Sea y
funciones con derivadas continuas. Entonces, la fórmula de integración por partes para la integral que involucra estas
dos funciones es:
Para identificar cuál de las funciones va a ser u = f(x) o v = g(x), se aplica la regla de LIATE, el mismo, no es más que un acrónimo de los tipos de funciones:
L = Logarítmicas
I = Inversas
A = Algebraicas
T = Trigonométricas
E = Exponencial
Con este criterio podemos establecer a la hora de realizar la integración quien debe ser u = f (x), de izquierda a derecha, es decir, primero buscamos que la función sea de tipo logarítmica, sino es, pasamos al segundo que es “inversa”, luego algebraicas y así sucesivamente. LIATE no es siempre eficaz, hay ocasiones donde no resulta correcto aplicarse a la hora de resolver una integral por partes.
Ejemplo:
1.
Solución: Es una multiplicación de funciones por lo que se aplica integración por partes, para esto usamos la siguiente ecuación:
Por medio de LIATE identificó a la función que será "u". Vemos que no hay Inversa, no hay Logarítmicas, pero si tenemos una función Algebraica, por lo que se puede tomar en cuenta para hacer "u" a la función algebraica. Entonces:
u = x
Derivando, nos queda du = dx
Ahora, por descarte “v” es la otra función
Ahora tenemos a “u” y “v”, sustituimos en la fórmula:
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