Integral de e^(3x)sen(2x)

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline \int e^{3x}sen(2x)dx$

Solución:

Integración por partes

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline u=sen(2x)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline du=2cos(2x)dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline v=\int e^{3x}dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline v=\frac{e^{3x}}{3}+c$

Sustituyendo en la formula de integración por partes

La fórmula:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline uv-\int vdu$

Nos queda:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I=sen(2x)\frac{e^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int e^{3x}2cos(2x)dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I=sen(2x)\frac{e^{3x}}{3}-\frac{2}{3}{\color{Red} \int e^{3x}cos(2x)dx}$

Llamaremos lo de rojo I2 :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I2= \int e^{3x}cos(2x)dx$

Otra integración por partes

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline u=cos(2x)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline du=-2sen(2x)dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline v=\int e^{3x}dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline v=\frac{e^{3x}}{3}+c$

Sustituyendo en la formula de integración por partes:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I2=cos(2x)\frac{e^{3x}}{3}+\int \frac{e^{3x}}{3}2sen(2x)dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I2=cos(2x)\frac{e^{3x}}{3}+\frac{2}{3}{\color{Red} \int e^{3x}sen(2x)dx}$

Siendo lo de rojo igual a la integral del comienzo.

Por lo tanto:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I2=cos(2x)\frac{e^{3x}}{3}+\frac{2}{3}{\color{Red} I} +C$

Sustituyendo I2 en I:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I=\frac{sen(2x)e^{3x}}{3}-\frac{2}{3}\left [ cos(2x)\frac{e^{3x}}{3}+\frac{2}{3}I \right ]+C$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I=\frac{sen(2x)e^{3x}}{3}-\frac{2cos(2x)e^{3x}}{9}-\frac{4}{9}I+C$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I+\frac{4}{9}I=\frac{sen(2x)e^{3x}}{3}-\frac{2cos(2x)e^{3x}}{9}+C$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline \frac{13}{9}I=\frac{sen(2x)e^{3x}}{3}-\frac{2cos(2x)e^{3x}}{9}+C$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I= \frac{9}{13}\left [ \frac{sen(2x)e^{3x}}{3}-\frac{2cos(2x)e^{3x}}{9}\right ] +C$