Integral de (x^3+5x^2-2)e^2x

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline \int \left ( x^{3}+5x^{2}-2 \right )e^{2x}dx$

Solución

Integración por partes

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline u=x^{3}+5x^{2}-2$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline du=\left ( 3x^{2}+10x \right )dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline v=\int e^{2x}dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline v=\frac{e^{2x}}{2}+c$

Sustituyendo en la formula de integración por partes:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I=\left ( x^{3}+5x^{2}-2 \right )\frac{e^{2x}}{2}-\frac{1}{2}{\color{Red} \int e^{2x}\left ( 3x^{2}+10x \right )dx}$

Llamaremos lo de rojo I2

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I2=\int e^{2x}\left ( 3x^{2}+10x \right )dx$

Otra integración por partes:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline u=3x^{2}+10x$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline du=\left ( 6x+10 \right )dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline v=\int e^{2x}dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline v=\frac{e^{2x}}{2}+c$

Sustituyendo en la formula de integración por partes:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I2=\left [ 3x^{2}+10x \right ]\frac{e^{2x}}{2}-\frac{1}{2}{\color{Red} \int e^{2x}\left ( 6x+10 \right )dx}$

Llamaremos lo de rojo I3:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I3=\int e^{2x}\left ( 6x+10 \right )dx$

Otra integración por partes:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline u=6x+10$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline du=6dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline v=\int e^{2x}dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline v=\frac{e^{2x}}{2}+c$

Sustituyendo en la formula de integración por partes:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I3=\left [ 6x+10 \right ]\frac{e^{2x}}{2}-\frac{1}{2}\int 6\left ( e^{2x} \right )dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I3=\left [ 6x+10 \right ]\frac{e^{2x}}{2}-\frac{3}{2}e^{2x}+c$

Sustituyendo I3 en I2:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline I2=\left [ 3x^{2}+10x \right ]\frac{e^{2x}}{2}-\frac{1}{2}\left [ \left [ 6x+10 \right ]\frac{e^{2x}}{2}-\frac{3}{2} e^{2x} \right ]+c$

Sustituyendo I2 en I:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\inline \small I=\left ( x^{3}+5x^{2}-2 \right )\frac{e^{2x}}{2}-\frac{1}{2}\left [ \left [ 3x^{2}+10x \right ]\frac{e^{2x}}{2}-\frac{1}{2} \left ( \left [ 6x+10 \right ]\frac{e^{2x}}{2} - \frac{3}{2} e^{2x}\right ) \right ]+c$

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