Espectro de amplitud y fase

Los coeficientes de la serie compleja de Fourier de una función periódica f pueden ser expresados como:

$C_{n}=\left|C_{n}\right|e^{j\phi n}$ $\left|C_{n}\right|=\frac{1}{2}\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}$ $\Phi _{n}=tg^{-1}\left(-\frac{bn}{an}\right);n\neq 0$

Donde $\left|C_{n}\right|$ es la magnitud y $\phi _{n}$ es el ángulo de fase. El conjunto de valores de $\left|C_{n}\right|$ y $\phi _{n}$ considerados como una función de la frecuencia angular $n\omega _{0}$ son llamados los espectros de magnitud y fase respectivamente de la función periódica f. La gráfica de estos espectros consiste de un conjunto de puntos discretos, ya que el índice n toma solamente valores enteros por lo que son definidos únicamente para los valores discretos $n\omega _{0}$ .

Ejemplo: Represente los espectros de amplitud y fase de $f(x)=x^{2}$ , $0<x<2$ y $f(x)=f(x+2)$ .

Con T = 2, $\omega _{0}=2\pi/2=\pi$ y $n\neq 0:$

$C_{n}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}x^{2}.e_{-jn\pi x}dx=\left[\frac{j}{2n\pi}x^{2}.e^{-jn\pi x}+\frac{1}{n^{2}\pi^{2}}x.e^{-jn\pi x}-\frac{j}{n^{3}\pi^{3}}e^{-jn\pi x}\right]\begin{matrix}2\\0\end{matrix}$