Procesos estocásticos

Créditos: Prof. Jorge Piña

 Procesos estocásticos:  En la teoría de probabilidades, un proceso estocástico es un concepto matemático que se utiliza para caracterizar, una sucesión de variables aleatorias que varían en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad, y entre ellas, pueden estar correlacionadas o no. Esto significa que un proceso estocástico es comparable con una variable aleatoria pero el resultado de cada ensayo no es un número sino una curva continua en el tiempo. Se representa como x(t). ver figura 1.

Figura 1
Proceso x(t) esta compuesto de las funciones muestrales x(t1), x(t2)

  Es importante resaltar que un proceso estocástico esta compuesto de variables aleatorias. Por ejemplo, en el momento t1, en cada ensayo se observa que aparece, un número. El conjunto de estos números bien se podría graficar como se muestra en la Figura 2.

Figura 2

En conclusión se tiene que:

Mientras x(t1) es una variante aleatoria, x(t) es un proceso aleatorio. 

  Por otra parte, el termino proceso estocástico (PE) en un contexto más relacionado al área de las comunicaciones, es sinónimo se señal aleatoria; por lo que este tema es de vital importancia, ya que actúa como conector de la teoría de probabilidad con conceptos de tratamiento de señales (mediante sistemas lineales). Considerando lo anterior, es necesario reconocer, que las señales útiles en telecomunicaciones precisan de herramientas de modelado probabilístico, por dos razones: toda señal que transporta información tiene algún grado de aleatoriedad, ya que sobre toda señal deseada se superpone  de forma natural algún tipo de perturbación. Debido a esto es indispensable contar con alguna herramienta que caracterice las señales del mismo tipo con independencia de su contenido, y además permita minimizar las perturbaciones (ruido), ya que sus efectos son indeseables para nuestros sistemas de comunicaciones.

 Clasificación de los procesos estocásticos

Antes de realizar la clasificación de los procesos estocásticos, es necesario definir , los siguientes conceptos básicos: 

a. Conjunto paramétrico: Sea Xt una sucesión de variables aleatorias, donde el subíndice t indica el instante de tiempo (o espacio) correspondiente, entonces se denomina conjunto paramétrico al conjunto t C R de subíndices (t1, t2, ... tn), el cual puede ser continuo o numerable. 

b. Conjunto de estado: Se domina conjunto de estados E, al conjunto de los posibles valores que pueden tomar las variables aleatorias (xt), es decir (x1, x2, ..., xn). También puede ser continuo o numerable (real o complejo).

Nota: En general, se piensa en el subíndice t como el indicativo del tiempo y en xt como el estado o posición del proceso estocástico en el instante t.  

Entonces, de acuerdo a los conceptos anteriores, los procesos estocásticos, se pueden clasificar según: 

 a. La estructura del conjunto paramétrico t y del conjunto de estados E.

 b. Las características probabilísticas de las variables aleatorias. 

Clasificación según la estructura de t y E

  Los procesos estocásticos se pueden clasificar en cuatro tipos, dependiendo de si t es un conjunto numerable o continuo y de si E es otro conjunto numerable o continuo, así:

Ejemplos: 

(i) Cadena: Supóngase una pieza de una máquina que se revisa mensualmente. Esta pieza presenta tres posibles estados: Buena, ajustable o mala. De esta manera se puede definir el proceso como:

Xo = Estado que se encuentra la pieza en el mes n.

(ii) Proceso puntual: Un transporte colectivo tiene capacidad para K personas, si en un terminal de pasajeros hay k o menos esperando, entonces, todas subirán al autobús, si no es así, subirán las k primeras, quedando el resto de personas en espera, se define, entonces:

Xt = Número de personas esperando en el terminal de pasajeros en un instante de tiempo t. 

(iii) Sucesión de V.A.: Una empresa extractora de hierro, debe decidir, cuanto hierro extraer al mes para maximizar los beneficios, se define entonces:

 Xn = Cantidad de hierro a extraer en el mes n

(iv) Proceso Continuo: En la taquilla de un banco se contabiliza el tiempo de espera de un cliente que llega en un instante t, se puede definir:

xt = tiempo de espera de un cliente que llega en el instante t. 

Clasificación según las características probabilísticas de las V.A.

   Según estas características, los procesos estocásticos se pueden clasificar en:

a.) Proceso estacionarios: Los cuales a su vez pueden ser: en sentido estricto y en sentido amplio (débil), serán analizados con mayor detalle más adelante. 

b) Proceso Markoviamos: Son aquellos, donde la distribución de Xt+t solo depende de la distribución de Xt y no de las anteriores (Xt-1, Xt-2, ...), esto significa que el estado futuro del proceso, sólo depende del estado presente, y no del resto de estados pasados.

c) Procesos de incrementos independientes (ortogonales): Si para todo n perteneciente a N y para todo t1,.., tn perteneciente  T con t1<...< tn se cumple que las V.A. son independientes, se dice que Xt es un proceso estocásticos de incrementos independientes.

Caracterización de un proceso estocásticos 

  Funciones de distribución y densidad de probabilidad de orden n

  

a) Funciones de orden 1: Al fijar un instante de tiempo t, se genera  una variable aleatoria x(t), de tal forma, que se obtiene que, la función de distribución viene dad por:

Y la función de densidad por:

Nota: 

1) Ambas funciones se han de conocer para todo  

2) En general, el proceso estocásticos no queda completamente caracterizado por las funciones de orden 1

b) Funciones de orden 2: Si se fijan dos instantes t1, y t2, se generan las variables aleatorias x(t1) y x(t2), obteniéndose que la función de distribución es: 

y la función de densidad es:

Nota: 

1) Ambas funciones se han de conocer para todo par (t1,t2) 

2) En general, el proceso estocástico  no queda completamente caracterizado por las funciones.

  Por otra parte se tiene que la autocorrelación es:

Nota: Si se quiere obtener una función de orden1 a partir de una función de orden 2 en un instante en particular, la función de distribución se escribiría de la forma siguiente: 

y la función de densidad como:

c. Funciones de orden n: De manera general si se fijan n instantes t1,t2,...,tn, se generan las variables aleatorias x(t1),x(t2),.., x(tn). Obteniéndose que la función de distribución vendría dad por:

 

y la función de densidad por:

En la práctica las funciones que se suelen emplear son las de orden 1 y de orden 2, debido a la complejidad de las expresiones para los otros ordenes.

Caracterización de los procesos estocásticos 

  Si se tienen dos procesos estocásticos, su caracterización vendrá dada por la función de densidad conjunta de ordenes n y m, es decir: 

   En la práctica, salvo para procesos gaussianos, es impensable poder disponer de esta información, por ello, lo normal es trabajar con parámetros de caracterización parcial de los procesos estocásticos. 

Caracterización parcial de un proceso estocástico 

La media: La media Ux(t) de X(t) es el valor esperado de X(t) y viene dada por:

Si X(t)es un PE continuo:

Si X(t) es un PE discreto

Correlación: La correlación Rx(t1,t2) es el valor esperado del producto X(t1)X(t2) y viene dada por:

Si X(t) es un PE continuo 

Si x(t) es un PE complejo

Si  x(t) es un PE discreto 

Covarianza: La covarianza o autocovarianza Cx(t1,t2) de x(t) es el valor esperado del producto 

, es decir

Si X(t) es un PE complejo

Si x(t) es un PE discreto. 

Potencia; Es el valor esperado de , también llamado valor cuadrado medio y se determina mediante la formula siguiente:

 

Varianza: Es el valor esperado de . Se representa mediante el símbolo  y su expresión matemática es:

Si x(t) es un PE continuo

Si x(t) es un PE discreto.

Coeficiente de autocorrelación: Indica  el  Grado de relación lineal entre x(t1) y x(t2). Se representa mediante:  

Ruido blanco en sentido amplio: Un PE es ruido blanco en sentido amplio si  para todo , lo que demuestra que   y    están incorreladas. 

Ruido blanco en sentido estricto: Un PE es ruido blanco en sentido estricto sí fx(x1,x2 ; t1,t2) = fx(x1;t1)fx(x2;t2), para todo , lo que demuestra que  y  son independientes.

Caracterización parcial de dos procesos estocásticos

Correlación cruzada: 

Covarianza cruzada:

Propiedades:

a. Procesos incorrelados:   para todo

b. Procesos ortogonales:   para todo 

c. Procesos independientes: Si se cumple que:

Relaciones:

a.            

b.          

c.          

Revisar: Relaciones trigonométricas fundamentales

Ejercicios resueltos